Fractais de Mandelbrot não são apenas bonitos: eles ensinaram os matemáticos a modelar o mundo real

Antes do rebelde matemático franco-americano, a geometria usada pelos matemáticos estava defasada em relação à realidade.

The Conversation|Do R7

10/12/2024 - 17h34 (Atualizado em 10/12/2024 - 17h34)

No início do meu terceiro ano na universidade, estudando matemática, vi um anúncio. Um professor visitante do Canadá daria um minicurso de dez palestras sobre um assunto chamado “dinâmica complexa”.

Aconteceu que aquele era um momento difícil para mim. No papel, eu era um aluno muito bom, com uma média de mais de 90%, mas, na realidade, estava me sentindo muito inseguro. Estava na hora de escolhermos um ramo da matemática para nos especializarmos, mas eu não havia me conectado com nenhuma das matérias até então; todas pareciam muito técnicas e secas.

Decidi então dar uma chance ao minicurso. Assim que ele começou, fui capturada pela beleza surpreendente dos padrões que emergiram da matemática. Aprendemos que esses padrões foram uma descoberta relativamente recente; não havia nada parecido com eles antes da década de 1980.

Elas foram criadas graças ao matemático franco-americano Benoit Mandelbrot, que as inventou em uma tentativa de visualizar esse campo - com a ajuda de alguns computadores poderosos do IBM TJ Watson Research Center, no norte do estado de Nova York.

Um fractal - termo que ele derivou da palavra latina fractus, que significa “quebrado” ou “fragmentado” - é uma forma geométrica que pode ser dividida em partes menores, cada uma delas uma cópia em escala do todo. Eles são uma representação visual do fato de que mesmo um processo com o modelo matemático mais simples pode demonstrar um comportamento complexo e intrincado em todas as escalas.

Como os fractais são criados

O sistema usado por Mandelbrot foi o seguinte: você escolhe um número (z), eleva-o ao quadrado e, em seguida, adiciona outro número (c). Em seguida, repita várias vezes, mantendo “c” o mesmo e usando a soma total do cálculo anterior como “z” a cada vez.

Começando, por exemplo, com z=0 e c=1, o primeiro cálculo seria 0² + 1 = 1. Fazendo z = 1 para o próximo cálculo, será 1² + 1 = 2, e assim por diante.

Para ter uma ideia do que vem a seguir, você pode traçar o valor de “c” em uma linha e codificá-lo por cores dependendo de quantas iterações na série são necessárias para que a soma total exceda 4 (o motivo de ser 4 é que qualquer valor maior crescerá rapidamente em direção a um número infinitamente grande nas iterações subsequentes). Por exemplo, você pode usar azul se a série nunca exceder 4, vermelho se ela chegar lá depois de 1 a 5 iterações, preto se forem necessárias 6 a 9 iterações e assim por diante.

O conjunto de Mandelbrot é, na verdade, mais complicado porque não se traça “c” em uma linha, mas em um plano com eixos x e y. Isso envolve a introdução de vários outros conceitos matemáticos em que “c” é um número complexo e o eixo y se refere a valores imaginários. Se você quiser saber mais sobre isso, assista ao vídeo abaixo. Ao plotar vários valores diferentes de “c” no plano, você obtém os fractais.

Essa ideia de visualização de Mandelbrot, que faria 100 anos este mês, levou os matemáticos a aceitar o papel das imagens na matemática experimental. Ela também levou a uma enorme quantidade de pesquisas. Em cinco a cada oito ocasiões desde 1994, a Medalha Fields - um dos maiores prêmios da matemática - foi concedida a trabalhos relacionados às suas conjecturas.

Mandelbrot no mundo real

Durante séculos, os matemáticos tiveram que conviver com o pensamento incômodo de que suas ferramentas existentes - conhecidas como geometria euclidiana - não eram realmente adequadas para modelar e compreender o mundo real. Todas elas produziam curvas suaves, mas a natureza não é assim.

Por exemplo, é possível esboçar a forma do litoral britânico com alguns traços contínuos. Mas, quando você aumenta o zoom, pode ver muitas pequenas irregularidades que antes eram invisíveis. O mesmo se aplica aos leitos dos rios, às montanhas e aos galhos das árvores, entre muitos outros aspectos.

Quando os matemáticos tentavam modelar a superfície de qualquer coisa, essas pequenas imperfeições sempre atrapalhavam. Para que seu trabalho se ajustasse à realidade, eles tinham de introduzir elementos adicionais que sobrepunham “ruído”. Mas esses elementos eram feios e absurdos, compensando suas inadequações com a criação de uma ilusão.

A filosofia revolucionária de Mandelbrot, apresentada em seu manifesto de 1982, The Fractal Geometry of Nature, argumentava que os métodos científicos poderiam ser adaptados para estudar vastas classes de fenômenos irregulares como esses. Ele foi o primeiro a perceber que, espalhados pela literatura científica, muitas vezes em fontes obscuras, estavam as sementes de uma estrutura coerente que permitiria que os modelos matemáticos fossem além do conforto da geometria euclidiana e lidassem com as irregularidades sem depender de um mecanismo sobreposto.

Isso tornou sua teoria aplicável a uma ampla gama de campos improvavelmente diversos. Por exemplo, ela é usada para modelar a formação de nuvens na meteorologia e as flutuações de preços no mercado de ações. Outros campos em que ela tem aplicação incluem física estatística, Cosmologia, geofísica, computação gráfica e fisiologia.

A história da vida de Mandelbrot foi tão irregular quanto sua descoberta. Ele nasceu em uma família judia-lituana em Varsóvia em 1924. Pressentindo a aproximação de problemas, a família mudou-se primeiro para Paris em 1936, e depois para uma pequena cidade no sul da França.

Em 1945, ele foi admitido na universidade de maior prestígio da França, a École Normale Supérieure, em Paris, mas ficou apenas um dia. Ele abandonou o curso para se mudar para a menos prestigiada École Polytechnique, que era mais adequada para suas pretensões.

Após um mestrado em aerodinâmica no California Institute of Technology e um doutorado em matemática na Universidade de Paris, Mandelbrot passou a maior parte de sua vida científica ativa em um laboratório industrial da IBM. Só em 1987 ele foi nomeado o Abraham Robinson Adjunct Professor of Mathematical Sciences na Universidade de Yale, EUA, cátedra em que permaneceu até sua morte em 2010.

Não é exagero dizer que Mandelbrot é um dos maiores gênios de nossa era. Graças ao seu trabalho, as imagens visuais de fractais se tornaram um símbolo para a pesquisa matemática como um todo. A comunidade reconheceu sua contribuição ao nomear um dos fractais mais famosos como conjunto de Mandelbrot.

No epílogo de um documentário de 1995 sobre sua descoberta, The Colours of Infinity, vemos Benoit falando para a câmera:

Polina Vytnova foi apoiada anteriormente pelo EPSRC.